関数 y = ax² とは
y が x の2乗に比例するとき、その関数は次の式で表されます。
y = ax² （a は 0 でない定数）
a を比例定数といいます。x の値が 2倍、3倍…になると、y の値は 4倍、9倍…（2²倍、3²倍…）になります。
グラフの特徴（放物線）
y = ax² のグラフは放物線とよばれる曲線です。①のモードで a を動かしながら確かめてみましょう。
- 原点を通る。原点を放物線の頂点といいます
- y 軸について対称。y 軸を放物線の軸といいます
- a > 0 なら上に開いた形、a < 0 なら下に開いた形
- a の絶対値が大きいほど、グラフの開き方は小さく（細く）なる
- y = ax² と y = −ax² のグラフは、x 軸について対称
変化の割合は一定ではない
変化の割合は、一次関数と同じく次の式で求めます。
変化の割合 ＝ (y の増加量) ÷ (x の増加量)
一次関数では変化の割合がいつも同じ（傾き a）でした。しかし y = ax² では、x がどこからどこまで増えるかによって変化の割合が変わります。グラフが曲線なので、2点を結ぶ直線の傾きが場所によって違うためです。
x が p から q まで増えるときの変化の割合を計算すると、次のようになります（因数分解を使っています）。
(aq² − ap²) ÷ (q − p) ＝ a(q + p)(q − p) ÷ (q − p) ＝ a(p + q)
「a × (はじめの x ＋ おわりの x)」と覚えておくと、検算に便利です。
変域の求め方
x の変域から y の変域を求めるときは、必ずグラフをかいて考えます。
- x の変域の両端の値を代入して、y の値を求める
- x の変域に 0 が含まれるかを確かめる
- 0 が含まれるなら、a > 0 のとき y の最小値は 0、a < 0 のとき y の最大値は 0
たとえば y = x² で −1 ≦ x ≦ 2 のとき、両端の y は 1 と 4 ですが、答えは 1 ≦ y ≦ 4 ではなく 0 ≦ y ≦ 4 です。x = 0 のとき y = 0 になるからです。③のモードで確かめてみましょう。
一次関数との比較
| 一次関数 y = ax + b | 関数 y = ax² | |
|---|---|---|
| グラフ | 直線 | 放物線（曲線） |
| 変化の割合 | 一定（= a） | 一定ではない |
| a > 0 のとき | x が増えると y はいつも増える | x < 0 では減り、x > 0 では増える |
よくある間違い
- 変域で両端だけ代入する：x の変域に 0 が含まれるときは、y = 0 が最小値（または最大値）になります。
- 変化の割合を a だと思い込む：それは一次関数の場合です。y = ax² では場所によって変わります。
- 負の数の2乗：y = 2x² に x = −3 を代入すると、2 × (−3)² = 2 × 9 = 18。−18 ではありません。
- 開き方と a の大きさ：a が大きいほど「広がる」のではなく、細くなります。
確認問題
問1 y = 2x² で、x = −3 のときの y の値は？
y = 2 × (−3)² = 2 × 9 = 18。
問2 y = x² で、x が 1 から 3 まで増えるときの変化の割合は？
(9 − 1) ÷ (3 − 1) = 4。a(p + q) = 1 × (1 + 3) = 4 でも確かめられます。②のモードで p = 1、q = 3 にしてみましょう。
問3 y = −x² で、x の変域が −1 ≦ x ≦ 2 のときの y の変域は？
両端は x = −1 で y = −1、x = 2 で y = −4。変域に 0 を含むので最大値は 0。答えは −4 ≦ y ≦ 0。
問4 y = ax² のグラフが点 (2, 8) を通るとき、a の値は？
8 = a × 2² より、4a = 8、a = 2。